Question

（2012•广州一模）已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（g））处的切线斜率为3（为自然对数的底数）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞l恒成立，求k的最大值；
（3）当m＞n＞l（m，n∈Z）时，证明：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m．
（注：本题第（2）（3）两问只需要解答一问，两问都答只计第（2）问得分）

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而可求b的值，利用图象在点（e，f（e））处的切线斜率为3，可求a的值；
（2）当x＞l时，设g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，求导函数，确定g（x）的最小值，即可求得k的最大值；
（3）要证：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn，即

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

，构造函数φ（x）=

xlnx

x-1

，x＞1，证明φ（x）在（1，+∞）上为增函数即可．

解答：（1）解：f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），即a（-x）+（-x）ln|-x+b|=-（ax+xln|x+b|）…（2分），
所以ln|-x+b|=ln|x+b|，从而b=0…（3分），
此时f（x）=ax+xln|x|，f'（x）=a+l+ln|x|…（4分），
依题意f'（e）=a+2=3，所以a=1…（5分）
（2）解：当x＞l时，设g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，则g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

…（6分）
设h（x）=x-2-lnx，则h′(x)=1-

1

x

＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数…（8分）
因为h（3）=l-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以?x₀∈（3，4），使h（x₀）=0…（10分），
x∈（1，x₀）时，h（x）＜O，g'（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上为减函数；
同理g（x）在（x₀，+∞）上为增函数…（12分），
从而g（x）的最小值为g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=x0…（13分）
所以k＜x₀∈（3，4），k的最大值为3…（14分）．
（3）证明：要证：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn…（6分），
即n（1-m）lnn＞m（l-n）lnm，

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

…（8分），
设φ（x）=

xlnx

x-1

，x＞1…（9分），则φ′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

…（10分）
设g（x）=x-l-lnx，则g′(x)=1-

1

x

＞0…（11分），g（x）在（1，+∞）上为增函数…（12分），
∴x＞1时，g（x）＞g（l）=l-l-lnl=0，从而φ′（x）＞O，φ（x）在（1，+∞）上为增函数…（13分），
因为m＞n＞l，所以φ（n）＜φ（m），

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

，所以（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确求导是关键．