Question

如图，椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，P为椭圆上的一点，且满足PF₁⊥PF₂，
（1）求三角形PF₁F₂的面积．
（2）若此椭圆长轴为8，离心率为

3

2

，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的勾股定理及椭圆的定义得到关于|PF₁|，|PF₂|的方程，求出|PF₁|•|PF₂|的值，利用直角三角形的面积公式求出△PF₁F₂的面积．
（2）由题知：a=4，得出椭圆的标准方程，再根据PF⊥PF₂得到P为以F₁F₂为直径的圆上，两者结合组成方程组求解即可得点P的坐标．

解答：解：（1）根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，平方得|PF₁|²+2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a²
又PF⊥PF₂∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²
∴|PF₁||PF₂|=2b²
∴S=

1

2

|PF₁||PF₂|=b²…7′．
（2）由a=4，

c

a

=

3

2

得b²=4  ….9′
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

4

=1  …..10′
由PF⊥PF₂∴P为以F₁F₂为直径的圆上．….13′

x2

16

+

y2

4

=1  ①x²+y²=12  ②
联列方程组 得x=±

2 3

3

y=±

4 6

3

∴点P的坐标：P₁（

2 3

3

，

4 6

3

）   P₂（-

2 3

3

，

4 6

3

）  
 P₃（-

2 3

3

，-

4 6

3

）    P₄（

2 3

3

，-

4 6

3

）….15′

点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，考查计算能力．