题目内容

(2011•盐城模拟)(本题文科学生做)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知F1(-4,0),F2(4,0),A(0,8),直线y=t(0<t<8)与线段AF1、AF2分别交于点P、Q.
(Ⅰ)当t=3时,求以F1,F2为焦点,且过PQ中点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R,记△PRF1的外接圆为圆C.
①求证:圆心C在定直线7x+4y+8=0上;
②圆C是否恒过异于点F1的一个定点?若过,求出该点的坐标;若不过,请说明理由.
分析:(Ⅰ)设椭圆的方程,根据当t=3时,PQ中点为(0,3),所以b=3,利用F1(-4,0),F2(4,0),即可求得椭圆的标准方程;
(Ⅱ)①确定直线AF1:y=2x+8;AF2:y=-2x+8,求得P(
t-8
2
,t),Q(
8-t
2
,t),R(4-t,0),利用待定系数法,设△PRF1的外接圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,进而可确定圆心坐标,即可证得结论;
②由①可得圆C的方程,分离参数,分别令其为0,即可求得定点的坐标.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,当t=3时,PQ中点为(0,3),所以b=3
∵a2-b2=16,∴a2=25
∴椭圆的标准方程为
x2
25
+
y2
9
=1

(Ⅱ)①证明:直线AF1:y=2x+8;AF2:y=-2x+8;
所以可得P(
t-8
2
,t),Q(
8-t
2
,t)
∵直线QR∥AF1交F1F2于点R,∴R(4-t,0)
设△PRF1的外接圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则
(4-t)2+(4-t)D+F=0
16-4D+F=0
(
t-8
2
)
2
+t2+
t-8
2
D+tE+F=0

D=t
E=4-
7
4
t
F=4t-16

∴圆心坐标为(-
t
2
7t
8
-2)

∴圆心C在定直线7x+4y+8=0上;
②由①可得圆C的方程为:x2+y2+tx+(4-
7
4
t
)y+4t-16=0
整理可得(x2+y2+4y-16)+t(x-
7
4
y+4)=0
∴x2+y2+4y-16=0,且x-
7
4
y+4=0
联立此两方程解得x=
4
13
,y=
32
13
或x=-4,y=0
∴圆C恒过异于点F1的一个定点,该点的坐标为(
4
13
32
13
).
点评:本题考查圆锥曲线的综合,考查椭圆的标准方程,考查圆的方程,考查恒过定点问题,解题的关键是利用待定系数法,分离参数法,属于中档题.
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