Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别是 ，点 是 的中点，若 ，且 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的面积的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）

由题意可得 ， ①，由 ，可得 ,即有 ②，由①②解得c=1，b= , ,故椭圆C的标准方程为 .

（2）

设 ， .

由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l 的方程为x=my+1,

由 得 ，∴， ， .

因为直线l与椭圆C交于不同的两点，

所以△>0，即 ，则

令 则t≥1，则 ，令 ，由函数的性质可知，函数 在 上是单调递增函数，即当t≥1时， 在 上单调递增，因此有 ，所以 即当t=1，即m=0时， 最大，最大值为3.

【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，构建代数方法解决几何问题等基础知识，意在考查转化与化归能力，综合分析问题、解决问题的能力，推理能力和运算能力．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．