Question

过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程．

Answer 1

2x＋y－6＝0

(解法1)设所求的直线方程为y－4＝k(x－1)．显见，上述直线在x轴、y轴上的截距分别为1－、4－k.由于1－>0且4－k>0可得，k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S＝＋(4－k)＝5＋(－k)＋≥5＋4＝9，当且仅当－k＝－，即k＝－2时，S有最小值9.故所求直线方程为y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.
(解法2)设所求的直线方程为＝1(a>0，b>0)．
据题设有＝1，①　令S＝a＋b.②
①×②，有S＝(a＋b)＝5＋≥5＋4＝9.当且仅当时，即2a＝b，且＝1，也即a＝3，b＝6时，取等号．
故所求的直线方程为＝1，即2x＋y－6＝0.