题目内容
平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足
=t
+(1-t)
(t∈R),点C的轨迹与抛物线:y2=4x交于A、B两点.
(Ⅰ)求证:
⊥
;
(Ⅱ)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m∈R),使得过P点的直线交抛物线于D、E两点,并以该弦DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.
OC |
OM |
ON |
(Ⅰ)求证:
OA |
OB |
(Ⅱ)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m∈R),使得过P点的直线交抛物线于D、E两点,并以该弦DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由
=t
+(1-t)
(t∈R),知点C的轨迹是M、N两点所在的直线,
故点C的轨迹方程是:即y=x-4.
由得x2-12x+16=0.
∴x1x2=16,x1+x2=12
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16
∴x1x2+y1y2=0 故
⊥
.
(Ⅱ)由题意知:弦所在的直线的斜率不为零.故设弦所在的直线方程为:x=ky+m,
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-4m.
若以弦DE为直径的圆都过原点,则OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0.
即
+
+y1y2=m2-4m,解得m=0 (不合题意,舍去)或 m=4.
∴存在点P(4,0),使得过P点任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y) 则x=(x1+x2),y=( y1+y2),
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8,
∴弦AB的中点M的轨迹方程为:
消去k得:y2=2x-8.
∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8.
OC |
OM |
ON |
故点C的轨迹方程是:即y=x-4.
由得x2-12x+16=0.
∴x1x2=16,x1+x2=12
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16
∴x1x2+y1y2=0 故
OA |
OB |
(Ⅱ)由题意知:弦所在的直线的斜率不为零.故设弦所在的直线方程为:x=ky+m,
代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-4m.
若以弦DE为直径的圆都过原点,则OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0.
即
| ||
4 |
| ||
4 |
∴存在点P(4,0),使得过P点任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y) 则x=(x1+x2),y=( y1+y2),
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8,
∴弦AB的中点M的轨迹方程为:
消去k得:y2=2x-8.
∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8.

练习册系列答案
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平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1)、B(-1,3),若点C满足
=α
+β
,其中α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )
OC |
OA |
OB |
A、3x+2y-11=0 |
B、(x-1)2+(y-2)2=5 |
C、2x-y=0 |
D、x+2y-5=0 |