题目内容
已知椭圆
的离心率为
，直线
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，
、
、
是椭圆的顶点，
是椭圆上除顶点外的任意点，直线
交
轴于点
，直线
交
于点
，设的斜率为
，
的斜率为
，求证：
为定值.
（1）椭圆的方程为
；（2）详见解析.
解析试题分析：（1）先根据题中条件求出
、
、
，进而可以求出椭圆的方程；（2）先由直线的方程
与椭圆的方程联立求出点的坐标，然后由、、三点共线，利用平面向量共线进行等价转化，求出点的坐标，于是得到直线的斜率，最终证明为定值.
试题解析：（1）由直线与圆
得
，
由
，得
，所以
，
所以椭圆的方程为；
（2）因为
，不为椭圆定点，即的方程为
，①②
将①代入，解得
，
又直线的方程为
， ②
由
、、
三点共线可得
，
所以的斜率为
，则
（定值）.
考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的公共点的求解；3.直线的斜率；4.三点共线
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为坐标原点，如果一个椭圆经过点P(3,
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
抛物线
的焦点均在
轴上，
的中心和
从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
的方程的点的坐标；
，平行于
的直线
在y轴的截距为
，且交椭圆与
两点，
的取值范围；（3）求证：直线
、
与x轴围成一个等腰三角形，说明理由.
与双曲线
有公共焦点
，点
是曲线
在第一象限的交点，且
．
的方程；
为圆心的圆
与直线
相切，圆
.过点
作互相垂直且分别与圆
相交的直线
和
，设
，
，问：
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
）在椭圆C上.
：
与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且
，
，四边形
面积S的求最大值.
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆的离心率
．
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与椭圆
，且与直线
相交于点
．求证：以线段
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．
的准线过椭圆N：
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的对称轴上任一点
作直线与抛物线交于
、
两点，点Q是点P关于原点的对称点.
，证明：
；
，过