题目内容

如图已知椭圆的中点在原点,焦点在x轴上,长轴是短轴的2倍且过点,平行于的直线在y轴的截距为,且交椭圆与两点,

(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围;(3)求证:直线与x轴围成一个等腰三角形,说明理由.

(1);(2);(3)详见解析

解析试题分析:直线和圆锥曲线位置关系问题,一般要将直线方程和圆锥曲线方程联立,同时要注意其隐含条件(),得关于某一个未知数的一元二次方程,利用韦达定理建立参数的等量关系或者不等关系,从而确定参数的值或者取值范围,(1)由椭圆焦点在轴,先设椭圆标准方程为,由已知得关于 的方程组,解;(2)注意条件“平行于的直线交椭圆与两点”,设直线方程为y=x+m,与椭圆联立,得关于的一元二次方程,,得的取值范围(注意);(3)只需证明斜率互为相反数先设,则,,结合韦达定理证明
试题解析:(1)设椭圆方程为(a>b>0)
    ∴椭圆方程
(2)∵直线∥DM且在y轴上的截距为m,∴y=x+m

与椭圆交于A、B两点∴△=(2m)2-4(2m2-4)>0-2<m<2(m≠0);
(3)设直线MA、MB斜率分别为k1,k2,则只要证:k1+k2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1=,k2=
由x2+2mx+2m2-4=0得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4
而k1+k2=+=(*)
又y1=x1+m  y2=x2+m
∴(*)分子=(x1+m-1)(x2-2)+(x2+m-1)(x1-2)
=x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)
=2m2-4+(m-2)(-m)-4(m-1)=0
∴k1+k2=0,证之.
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、韦达定理.

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