题目内容

设函数.

(1)当时,求函数的最大值;

(2)令,其图象上存在一点,使此处切线的斜率,求实数的取值范围;

(3)当时,方程有唯一实数解,求的值.

 

【答案】

(1)函数的最大值为;(2)实数的取值范围是;(3).

【解析】

试题分析:(1)将代入函数的解析式,然后利用导数求出函数的最大值;(2)先确定函数的解析式,并求出函数的导数,然后利用导数的几何意义将问题转化为,利用恒成立的思想进行求解;(3)将代入函数的解析式并确定函数的解析式,构造新函数,利用导数求出函数的极值,利用极值为零来求出参数的值.

试题解析:(1)依题意,的定义域为

时,

,得,解得

,得,解得.

单调递增,在单调递减;

所以的极大值为,此即为最大值;

(2),则有上有解,

所以当时,取得最小值

(3)因为方程有唯一实数解,所以有唯一实数解,

,则

,所以由

,所以上单调递增,

上单调递减,.

有唯一实数解,则必有

所以当时,方程有唯一实数解.

考点:1.利用导数求函数的最值;2.函数不等式恒成立;3.参数分离法;4.函数的零点

 

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