题目内容
设函数.
(1)当,
时,求函数
的最大值;
(2)令,其图象上存在一点
,使此处切线的斜率
,求实数
的取值范围;
(3)当,
,
时,方程
有唯一实数解,求
的值.
【答案】
(1)函数的最大值为
;(2)实数
的取值范围是
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)将,
代入函数
的解析式,然后利用导数求出函数
的最大值;(2)先确定函数
的解析式,并求出函数
的导数,然后利用导数的几何意义将问题转化为
,利用恒成立的思想进行求解;(3)将
,
代入函数
的解析式并确定函数
的解析式,构造新函数
,利用导数求出函数
的极值,利用极值为零来求出参数
的值.
试题解析:(1)依题意,的定义域为
,
当,
时,
,
,
由 ,得
,解得
;
由 ,得
,解得
或
.
,
在
单调递增,在
单调递减;
所以的极大值为
,此即为最大值;
(2),
,则有
在
上有解,
∴,
,
所以当时,
取得最小值
,
;
(3)因为方程有唯一实数解,所以
有唯一实数解,
设,则
,
,
,所以由
得
,
由得
,所以
在
上单调递增,
在
上单调递减,
.
若有唯一实数解,则必有
,
所以当时,方程
有唯一实数解.
考点:1.利用导数求函数的最值;2.函数不等式恒成立;3.参数分离法;4.函数的零点

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