题目内容
(本小题满分13分)
已知数列{}中,对一切,点在直线y=x上,
(Ⅰ)令,求证数列是等比数列,并求通项(4分);
(Ⅱ)求数列的通项公式(4分);
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在常数,使得数列 为等差数列?若存在,试求出 若不存在,则说明理由(5分).
已知数列{}中,对一切,点在直线y=x上,
(Ⅰ)令,求证数列是等比数列,并求通项(4分);
(Ⅱ)求数列的通项公式(4分);
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在常数,使得数列 为等差数列?若存在,试求出 若不存在,则说明理由(5分).
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
(Ⅲ)当且仅当时,数列是等差数列 .
(Ⅲ)当且仅当时,数列是等差数列 .
(I)利用等比数列的定义,
从而证明是等比数列,其通项公式为.
(II)在(I)的基础上可求出然后再采用叠加求通项的方法求an.
(III)可以先利用成等差数列求出=2,然后再利用等差数列的定义证明当=2时,为等差数列即可.
(Ⅰ)由已知得
又
是以为首项,以为公比的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
将以上各式相加得:
(Ⅲ)解法一:存在,使数列是等差数列
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当,即时,数列为等差数列
解法二: 存在,使数列是等差数列
由(I)、(II)知,
又
当且仅当时,数列是等差数列 .
从而证明是等比数列,其通项公式为.
(II)在(I)的基础上可求出然后再采用叠加求通项的方法求an.
(III)可以先利用成等差数列求出=2,然后再利用等差数列的定义证明当=2时,为等差数列即可.
(Ⅰ)由已知得
又
是以为首项,以为公比的等比数列
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
将以上各式相加得:
(Ⅲ)解法一:存在,使数列是等差数列
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又
当且仅当,即时,数列为等差数列
解法二: 存在,使数列是等差数列
由(I)、(II)知,
又
当且仅当时,数列是等差数列 .
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