题目内容
(本题满分10分)设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,
命题q:实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
命题q:实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
(1)(2,3).(2)实数a的取值范围是(1,2].
本试题主要是考查了命题的真值,以及复合命题的真值判定,和充分条件和必要条件的判定的综合运用。
(1)先分别分析各个命题的真值为真的x的范围,然后利用交集为真,说明都是成立的x的范围可得。
(2)非p是非q的充分不必要条件利用等价命题可知q是p的充分不必要条件
说明前者的集合小于后者的集合,利用集合的包含关系解得。
解:(1)由x2-4ax+3a2<0得
(x-3a)(x-a)<0.
又a>0,所以a<x<3a,
当a=1时,1<x<3,
即p为真命题时,实数x的取值范围是1<x<3.
由
解得即2<x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.
若p∧q为真,则?2<x<3,
所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)非p是非q的充分不必要条件,
即非p⇒非p且非q非q.
设A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x>3},
则AB.
所以0<a≤2且3a>3,即1<a≤2.
所以实数a的取值范围是(1,2].
(1)先分别分析各个命题的真值为真的x的范围,然后利用交集为真,说明都是成立的x的范围可得。
(2)非p是非q的充分不必要条件利用等价命题可知q是p的充分不必要条件
说明前者的集合小于后者的集合,利用集合的包含关系解得。
解:(1)由x2-4ax+3a2<0得
(x-3a)(x-a)<0.
又a>0,所以a<x<3a,
当a=1时,1<x<3,
即p为真命题时,实数x的取值范围是1<x<3.
由
解得即2<x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.
若p∧q为真,则?2<x<3,
所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)非p是非q的充分不必要条件,
即非p⇒非p且非q非q.
设A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x>3},
则AB.
所以0<a≤2且3a>3,即1<a≤2.
所以实数a的取值范围是(1,2].
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