Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+ ﹣2）（a＞0） （Ⅰ）当1＜a＜4时，函数f（x）在[2，4]上的最小值为ln ，求a；
（Ⅱ）若存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令g（x）=x+ ﹣2，∴g′（x）=1﹣ = ，
∵x∈[2，4]，1＜a＜4，
∴x2﹣a＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[2，4]上单调递增，
∴f（x）在[2，4]上单调递增，
∴f（x）min=f（2）=ln（2+ ﹣2）=ln ，
∴a=3，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴f（x）min=f（2）=ln（2+ ﹣2）=ln ，
∵存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＜0，
∴ln ＜0=ln1，
∴0＜a＜2
故a的取值范围为（0，2）
【解析】（Ⅰ）令g（x）=x+ ﹣2，利用导数判断g（x）的单调性，再根据符合函数判断f（x）的单调性，根据函数的单调性即可求出函数的最值，即可求出a的值，（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，求出函数的最小值，根据存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＜0，得到a的取值范围．
【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．