Question

已知函数f(x)=

ax

b

的图象过点A(4，

1

2

)和B（5，1）．
①求函数f（x）的解析式；②函数f（x）的反函数；③设a_n=log₂f（n），n是正整数，是数列的前项和S_n，解关于的不等式a_n≤S_n．

Answer 1

分析：（1）函数f(x)=

ax

b

的图象过点A(4，

1

2

)和B（5，1），知

a4 b = 1 2 a5 b =1

，由此能求出f（x）．
（2）设y=f（x）=2^x-5，则x-5=log₂y，x=log₂y+5，x，y互换，得f^-1（x）=5+log₂x（x＞0）．
（3）由a_n=log₂f（n）=log₂（2^n-5）=n-5，知Sn=-4n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2 -

9

2

n，由a_n≤S_n，解不等式n-5≤

1

2

n2-

9

2

n，能得到{n∈N₊|n=1或n≥10}．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

ax

b

的图象过点A(4，

1

2

)和B（5，1），
∴

a4 b = 1 2 a5 b =1

，解得a=2，b=32，
∴f（x）=2^x-5．
（2）设y=f（x）=2^x-5，
则x-5=log₂y，
x=log₂y+5，
x，y互换，得f^-1（x）=5+log₂x（x＞0）；
（3）∵a_n=log₂f（n）=log₂（2^n-5）=n-5，
∴{a_n}是首项为-4，公差为1的等差数列，
∴Sn=-4n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2 -

9

2

n，
∵a_n≤S_n，
∴n-5≤

1

2

n2-

9

2

n，
解得：{n∈N₊|n=1或n≥10}．
故答案为：{n∈N₊|n=1或n≥10}．

点评：本题考查函数解析式的求法和数列与不等式的综合，解题时要认真审题，注意反函数的灵活运用．