题目内容

精英家教网如图，自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA，点C切点，割线PBA交⊙O于A、B两点，点O在AB上，作CD⊥AB，垂足为点D．求证：
PC
PA
=
BD
DC
．
分析：连结BC、AC，由弦切角定理得∠PCB=∠PAC，△PCB∽△PAC，可得
PC
PA
=
BC
AC
．根据AB是圆O的直径，得到Rt△ABC中CD⊥AB，所以△BDC∽△CDA，可得
BD
DC
=
BC
AC
，从而可得
PC
PA
=
BD
DC
成立．
解答：解：连结BC、AC，精英家教网
∵PC切⊙O于点C，∴∠PCB=∠PAC，
又∵∠BPC=∠CPA，∴△PCB∽△PAC，可得
PC
PA
=
BC
AC
…①，
∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC．
∵Rt△ABC中，CD⊥AB
∴△BDC∽△CDA，可得
BD
DC
=
BC
AC
…②，
比较①②，可得
PC
PA
=
BD
DC
．
点评：本题给出圆的直径与切线，求证对应线段成比例．着重考查了圆的直径的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
选做题：考生在下面两小题中，任选一道作答，如果全做则按第1小题评分．
（1）《几何证明选讲》选做题
如图，半径分别为a和3a的圆O1与圆O2外切于T，自圆O2上一点P引圆O1的切线，切点为Q，若PQ=2a，则PT=
2
6
3
a
2
6
3
a
．
（2）《坐标系与参数方程》选做题
从极点O作射线交直线ρcosθ=3于点M，P为线段OM上的点，且|OM|•|OP|=12，则P点轨迹的极坐标方程为
p=4cosθ
p=4cosθ
．
（2012•江苏二模）选做题
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA，点C为切点，割线PBA交⊙O于A，B两点，点O在AB上．作CD⊥AB，垂足为点D．
求证：
PC
PA
=
BD
DC
．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a，b∈R，若矩阵A=
a0
-1b
把直线l：y=2x-4变换为直线l′：y=x-12，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
求椭圆C：
x2
16
+
y2
9
=1上的点P到直线l：3x+4y+18=0的距离的最小值．
D．选修4-5不等式选讲
已知非负实数x，y，z满足x2+y2+z2+x+2y+3z=
13
4
，求x+y+z的最大值．
选做题：考生在下面两小题中，任选一道作答，如果全做则按第1小题评分．
（1）《几何证明选讲》选做题
如图，半径分别为a和3a的圆O1与圆O2外切于T，自圆O2上一点P引圆O1的切线，切点为Q，若PQ=2a，则PT=    ．
（2）《坐标系与参数方程》选做题
从极点O作射线交直线ρcosθ=3于点M，P为线段OM上的点，且|OM|•|OP|=12，则P点轨迹的极坐标方程为    ．
选做题
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA，点C为切点，割线PBA交⊙O于A，B两点，点O在AB上．作CD⊥AB，垂足为点D．
求证：．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a，b∈R，若矩阵把直线l：y=2x-4变换为直线l′：y=x-12，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
求椭圆C：=1上的点P到直线l：3x+4y+18=0的距离的最小值．
D．选修4-5不等式选讲
已知非负实数x，y，z满足x2+y2+z2+x+2y+3z=，求x+y+z的最大值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网