Question

【题目】设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=﹣2，当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）解关于x的不等式f（x+#）+f（2x﹣x2）＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x+y=0，可得f（0）=0，

令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），

且f（x）的定义域为R，是关于原点对称，∴f（x）为奇函数

（2）解：设x2＞x1，令﹣y=x1，x=x2 则f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1），

因为x＞0时，f（x）＜0，又x2﹣x1＞0，

故f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）＜0，

∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在R上单调递减，

因为f（﹣1）=2∴原不等式可转化为f（x+3）+f（2x﹣x2）＜﹣f（1）∴f（x+3）＜﹣f（2x﹣x2）﹣f（1），

∴f（x+3）＜﹣f（2x﹣x2+1）=f（﹣2x+x2﹣1），

又因为f（x）在R上单调递减∴x+3＞﹣2x+x2﹣1，

∴x＞4或x＜﹣1，

不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）

【解析】（1）令x+y=0，可得f（0）=0，令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）；（2）由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f（x2）﹣f（x1）与0的大小即可判定单调性，将不等式等价转化为∴f（x+3）＜f（﹣2x+x2﹣1）再利用函数的单调性即可解得不等式的解集．