题目内容
（2012•江苏三模）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及特征向量．
已知矩阵M
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（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及特征向量．
分析：（1）先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，
（2）令矩阵M的特征多项式等于0，即可求得矩阵M的特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）令矩阵M的特征多项式等于0，即可求得矩阵M的特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
解答：解：（1）矩阵的行列式为
=8-3=5，
∴求矩阵M的逆矩阵M-1=
．…（4分）
（2）矩阵A的特征多项式为矩阵M的特征多项式为f（λ）=
=λ2-6λ-5，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为1或5，…（6分）
当λ=1时 由二元一次方程
得x+y=0，令x=1，则y=-1，
所以特征值λ=1对应的特征向量为
=
．…（8分）
当λ=5时 由二元一次方程
得3x-y=0，
令x=1，则y=3，
所以特征值λ=5对应的特征向量为
=
．…（10分）
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∴求矩阵M的逆矩阵M-1=
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（2）矩阵A的特征多项式为矩阵M的特征多项式为f（λ）=
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令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为1或5，…（6分）
当λ=1时 由二元一次方程
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所以特征值λ=1对应的特征向量为
| α1 |
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当λ=5时 由二元一次方程
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令x=1，则y=3，
所以特征值λ=5对应的特征向量为
| α2 |
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点评：本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵M的特征值及特征向量，关键是求其行列式，正确写出矩阵M的特征多项式．
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