Question

已知函数f（x）=x²-ax+b
（Ⅰ）【理科】若b=4时，f（x）≥0对x∈（0，4）恒成立，求a的范围；
【文科】若b=4时，f（x）≥0对x∈R恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）若f（-1）≥0，f（0）≤0，f（2）≥0，求f（3）的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）理科：把b=4代入f（x），由题意，f（x）≥0对x∈（0，4）恒成立，可以利用分离常数法进行求解；
文科：文科f（x）≥0对x∈R恒成立，函数开口向上，要是函数f（x）恒大于0，只要△≤0即可；
（Ⅱ）第二问就是一个线性规划问题，找出可行域和目标函数，画出草图即可求解；

解答：解：（Ⅰ）理科：∵若b=4时，f（x）≥0对x∈（0，4）恒成立，
∴f（x）=x²-ax+4≥0，∴a≤

x2+4

x

=x+

4

x

，求出x+

4

x

的最小值即可，
∵x+

4

x

≥2

4

=4（当x=2时等号成立）；
∴a≤4；
文科：∵若b=4时，f（x）≥0对x∈R恒成立，也即x²-ax+4≥0对x∈R恒成立，
∴△≤0即可，也即a²-4×4≤0，∴-4≤a≤4；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-ax+b，f（-1）≥0，f（0）≤0，f（2）≥0，
可得

1+a+b≥0 b≤0 4-2a+b≥0

，目标函数z=f（3）=9-3a+b，
画出可行域：可以令a=x，b=y，如下图


如图在点A（2，0）处z取得最小值，在点B（-1，0）处取最大值，
∴z_min=9-6=3，z_max=9+3=12，
∴3≤f（3）≤12；

点评：第一问比较简单，用到了常数分离法，使问题简单化，第二问要看出来这是一个线性规划问题，就比较容易求解了；