题目内容

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
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(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上的动点,PQ⊥l,垂足为Q.是否存在点P,使得△F1PQ为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)设出椭圆方程,根据△AF1F2为正三角形可推断出a和b的关系,设b2=3λ,a2=4λ,代入椭圆方程,进而把点(
,
)代入即可求得λ,则椭圆的方程可得.
(Ⅱ)根据(1)可求得椭圆的离心率,进而求得PF1和PQ的关系,假设PF1=F1Q根据PF1=
PQ推断出PF1+F1Q=PQ,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,假设不成立,再看若F1Q=PQ,设出P点坐标,则Q点坐标可得,进而表示出F1Q和PQ求得x和y的关系,与椭圆方程联立求得P点坐标.判断出存在点P(-
,±
),使得△PF1Q为等腰三角
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(Ⅱ)根据(1)可求得椭圆的离心率,进而求得PF1和PQ的关系,假设PF1=F1Q根据PF1=
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解答:解:(Ⅰ)椭圆C的方程为
+
=1(a>b>0),
由已知△AF1F2为正三角形,所以
=
,
=
.
设b2=3λ,a2=4λ,椭圆方程为
+
=λ.
椭圆经过点(
,
),解得λ=1,
所以椭圆C的方程为
+
=1.
(Ⅱ)由
=e=
,得PF1=
PQ.所以PF1≠PQ.
1若PF1=F1Q,∵PF1=
PQ,∴PF1+F1Q=PQ,
与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,所以PF1不可能与PQ相等.
②若F1Q=PQ,设P(x,y)(x≠±2),则Q(-4,y).
∴
=4+x,
∴9+y2=16+8x+x2,
又由
+
=1,得y2=3-
x2.
∴9+3-
x2=16+8x+x2,
∴
x2+8x+4=0.
∴7x2+32x+16=0.
∴x=-
或x=-4.
因为x∈(-2,2),所以x=-
.所以P(-
,±
).
综上,存在点P(-
,±
),使得△PF1Q为等腰三角
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y2 |
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由已知△AF1F2为正三角形,所以
b |
a |
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设b2=3λ,a2=4λ,椭圆方程为
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椭圆经过点(
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所以椭圆C的方程为
x2 |
4 |
y2 |
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(Ⅱ)由
PF1 |
PQ |
1 |
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1 |
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1若PF1=F1Q,∵PF1=
1 |
2 |
与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,所以PF1不可能与PQ相等.
②若F1Q=PQ,设P(x,y)(x≠±2),则Q(-4,y).
∴
32+y2 |
∴9+y2=16+8x+x2,
又由
x2 |
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y2 |
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3 |
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∴9+3-
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∴
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∴7x2+32x+16=0.
∴x=-
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因为x∈(-2,2),所以x=-
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综上,存在点P(-
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点评:本题主要考查了椭圆的标准方程.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.

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