题目内容

精英家教网如图,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦点F1,F2和短轴的一个端点A构成等边三角形,点(
3
3
2
)在椭圆C上,直线l为椭圆C的左准线.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上的动点,PQ⊥l,垂足为Q.是否存在点P,使得△F1PQ为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)设出椭圆方程,根据△AF1F2为正三角形可推断出a和b的关系,设b2=3λ,a2=4λ,代入椭圆方程,进而把点(
3
3
2
)代入即可求得λ,则椭圆的方程可得.
(Ⅱ)根据(1)可求得椭圆的离心率,进而求得PF1和PQ的关系,假设PF1=F1Q根据PF1=
1
2
PQ推断出PF1+F1Q=PQ,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,假设不成立,再看若F1Q=PQ,设出P点坐标,则Q点坐标可得,进而表示出F1Q和PQ求得x和y的关系,与椭圆方程联立求得P点坐标.判断出存在点P(-
4
7
,±
3
15
7
),使得△PF1Q为等腰三角
解答:解:(Ⅰ)椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
由已知△AF1F2为正三角形,所以
b
a
=
3
2
b2
a2
=
3
4

设b2=3λ,a2=4λ,椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=λ.
椭圆经过点(
3
3
2
),解得λ=1,
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1.
(Ⅱ)由
PF1
PQ
=e=
1
2
,得PF1=
1
2
PQ.所以PF1≠PQ.
1若PF1=F1Q,∵PF1=
1
2
PQ,∴PF1+F1Q=PQ,
与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,所以PF1不可能与PQ相等.
②若F1Q=PQ,设P(x,y)(x≠±2),则Q(-4,y).
32+y2
=4+x,
∴9+y2=16+8x+x2
又由
x2
4
+
y2
3
=1,得y2=3-
3
4
x2
∴9+3-
3
4
x2=16+8x+x2
7
4
x2+8x+4=0.
∴7x2+32x+16=0.
∴x=-
4
7
或x=-4.
因为x∈(-2,2),所以x=-
4
7
.所以P(-
4
7
,±
3
15
7
).
综上,存在点P(-
4
7
,±
3
15
7
),使得△PF1Q为等腰三角
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.
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