题目内容

（2008•闸北区二模）如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值；
（Ⅱ）若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C的标准方程；
（Ⅲ）若直线l：y=kx+m与（Ⅱ）中所述椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
分析：（I）设点P的坐标（x，y），再构造函数f（x）=|PF1|2，代入两点间的距离公式并进行化简，利用二次函数的性质和x的范围，求出函数的最值以及对应的x的取值，即得到证明；
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，再由b2=a2-c2求出b，进而求出椭圆的标准方程；
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程进行整理，化简出一个二次方程，再由题意和韦达定理列出方程组，根据题意得kAA2•kBA2=-1，代入后得列出关于m的方程，进行化简、求解，注意对应题意进行验证．
解答：解：（Ⅰ）设p（x，y），则
x2
a2
+
y2
b2
=1，且F1（-c，0），
设f（x）=|PF1|2，则f（x）=（x+c）2+y2=
c2
a2
x2+2cx+c2+b2，
∴对称轴方程x=-
a2
c
，由题意知，-
a2
c
≤-a恒成立，
∴f（x）在区间[-a，a]上单调递增，
∴当x取-a、a时，函数分别取到最小值与最大值，
∴当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值；
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：a+c=3，a-c=1，解得a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3，
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1.
得，（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，则
△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)=3+4k2-m2＞0
x1+x2=-
8mk
3+4k2
x1•x2=
4(m2-3)
3+4k2

又∵y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
3(m2-4k2)
3+4k2
，
∵椭圆的右顶点为A2（2，0），AA2⊥BA2，∴kAA2•kBA2=-1，
即
y1
x1-2
•
y2
x2-2
=-1，∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，
∴
3(m2-4k2)
3+4k2
+
4(m2-3)
3+4k2
+
16mk
3+4k2
+4=0，
化简得，7m2+16mk+4k2=0，
解得，m1=-2k，m2=-
2k
7
，且均满足3+4k2-m2＞0，
当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m2=-
2k
7
时，l的方程为y=k(x-
2
7
)，直线过定点(
2
7
，0)．
所以，直线l过定点，定点坐标为(
2
7
，0)．
点评：本题考查椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了利用构造函数的方法处理最值问题，主要利用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力，最后对应题意进行验证这是易错的地方．
练习册系列答案
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BC
•
CA
+
CA
•
AB
+
AB
•
BC
的值为（　　）
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y=
-x2-2x
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lim
n→∞
an2+bn
n+1
=2，则a+b=
2
2
．

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