Question

已知椭圆+y²=1(a≥2),直线l与椭圆交于A,B两点,M是线段AB的中点,连结OM并延长交椭圆于点C.

(1)设直线AB与直线OM的斜率分别为k₁、k₂,且k₁·k₂=,求椭圆的离心率;

(2)若直线AB经过椭圆的右焦点F,且四边形OACB是平行四边形,求直线AB斜率的取值范围.

Answer 1

答案：(1)解:设A(x₁,y₁),B(y₂,y₂),M(x₀,y₀),则

两式相减,得+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.

又x₀=,y₀=,k₁=,k₂=,

可得k₁·k₂==,即a²=2e=.

(2)由①及n=c，可知C(,)代入椭圆方程,得4c²=m²+a².

又c²=a²-1,a≥2,m≠0k_AB²==≤k_AB∈［,0)∪(0,］.