题目内容
已知圆C的半径为2,圆心C在x轴的正半轴上,直线3x-4y+4=0与圆C相切.
(I)求圆C的方程;
(II)是否存在过点P(0,-3)的直线l与圆C交于不同两点A、B,且弦AB的垂直平分线m过点Q(3,-3),若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(I)设圆心为C(a,0)(a>0),则圆C的方程为(x-a)2+y2=4
∵圆C与3x-4y+4=0相切,∴
,
解得a=2或
(舍去),
∴圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
(II)假设符合条件的直线l存在,显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-3,
∵直线l与圆相交于不同两点,则圆心C到直线l的距离
,解得
,
直线m的方程为
,即x+ky+3k-3=0.
由于直线m垂直平分弦AB,故圆心C(2,0)必在直线m上,解得
.
而
,
故不存在直线l,使得过点Q(3,-3)的直线m垂直平分弦AB.
分析:(Ⅰ)利用直线与圆相切的性质即可求出;
(Ⅱ)利用点到直线的距离公式、直线与圆相交得到直线l满足的条件,再利用线段的垂直平分线的性质及垂径定理及推论即可得出.
点评:熟练掌握直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、直线与圆相交满足的条件、线段的垂直平分线的性质及垂径定理及推论是解题的关键.
∵圆C与3x-4y+4=0相切,∴

解得a=2或

∴圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
(II)假设符合条件的直线l存在,显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-3,
∵直线l与圆相交于不同两点,则圆心C到直线l的距离


直线m的方程为

由于直线m垂直平分弦AB,故圆心C(2,0)必在直线m上,解得

而

故不存在直线l,使得过点Q(3,-3)的直线m垂直平分弦AB.
分析:(Ⅰ)利用直线与圆相切的性质即可求出;
(Ⅱ)利用点到直线的距离公式、直线与圆相交得到直线l满足的条件,再利用线段的垂直平分线的性质及垂径定理及推论即可得出.
点评:熟练掌握直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、直线与圆相交满足的条件、线段的垂直平分线的性质及垂径定理及推论是解题的关键.

练习册系列答案
相关题目
已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( )
A、x2+y2-2x-3=0 | B、x2+y2+4x=0 | C、x2+y2+2x-3=0 | D、x2+y2-4x=0 |