Question

已知函数f（x）=|2x+2|+|2x-3|．
（Ⅰ）若?x∈R，使得不等式f（x）＜m成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）求使得等式f（x）≤|4x-1|成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据 f（x）=|2x+2|+|2x-3|=2(|x+1|+|x-

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|)≥5，从而求得得不等式f（x）＜m成立的m的取值范围．
（Ⅱ）由f（x）=|2x+2|+|2x-3|≥|4x-1|，可得不等式即|2x+2|+|2x-3|=|4x-1|，此时（2x+2）（2x-3）≥0，由此求得x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+2|+|2x-3|=2(|x+1|+|x-

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|)≥2|（x+1）-（x-

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）|=5，
∴使得不等式f（x）＜m成立的m的取值范围是 （5，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）=|2x+2|+|2x-3|≥|2x+2+2x-3|=|4x-1|，
∴不等式f（x）≤|4x-1|即|2x+2|+|2x-3|=|4x-1|，当且仅当（2x+2）（2x-3）≥0时取等号，
即当x≤-1，或x≥

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时，|2x+2|+|2x-3|=|4x-1|，
∴x的取值范围是(-∞，-1]∪[

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+∞)．

点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．