题目内容
设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3+S6=2S9.
(Ⅰ)求数列的公比q;
(Ⅱ)求证:2S3,S6,S12-S6成等比数列.
(Ⅰ)求数列的公比q;
(Ⅱ)求证:2S3,S6,S12-S6成等比数列.
分析:(Ⅰ)分公比等于1,验证数列是否成立;公比不等于1,利用前n项和公式求出公比,即可;
(Ⅱ)通过公比,推出
=
,即可证明数列是等比数列.
(Ⅱ)通过公比,推出
S6 |
2S3 |
S12-S6 |
S6 |
解答:解 (Ⅰ)当q=1时,S3+S6=9a1,2S9=18a1.因为a1≠0,所以S3+S6≠2S9,由题设q≠1.从而由S3+S6=2S9得
+
=2•
,化简得2q9-q6-q3=0,
因为q≠0,所以2q6-q3-1=0,即(2q3+1)(q3-1)=0.又q≠1,所以q3=-
,q=
.
(Ⅱ)由q3=-
得
=
•
=
•(
+1)=
•(q3+1)=
(-
+1)=
;
又
=q6=(-
)2=
,所以
=
,从而2S3,S6,S12-S6成等比数列.
a1(1-q3) |
1-q |
a1(1-q6) |
1-q |
a1(1-q9) |
1-q |
因为q≠0,所以2q6-q3-1=0,即(2q3+1)(q3-1)=0.又q≠1,所以q3=-
1 |
2 |
3 | -
| ||
(Ⅱ)由q3=-
1 |
2 |
S6 |
2S3 |
1 |
2 |
S6-S3+S3 |
S3 |
1 |
2 |
S6-S3 |
S3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
又
S12-S6 |
S6 |
1 |
2 |
1 |
4 |
S6 |
2S3 |
S12-S6 |
S6 |
点评:本题是中档题,考查数列的基本性质,注意等比数列公比的讨论,等比数列的证明,考查计算能力,常考题型.

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