题目内容

设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3+S6=2S9
(Ⅰ)求数列的公比q;
(Ⅱ)求证:2S3,S6,S12-S6成等比数列.
分析:(Ⅰ)分公比等于1,验证数列是否成立;公比不等于1,利用前n项和公式求出公比,即可;
(Ⅱ)通过公比,推出
S6
2S3
=
S12-S6
S6
,即可证明数列是等比数列.
解答:解 (Ⅰ)当q=1时,S3+S6=9a1,2S9=18a1.因为a1≠0,所以S3+S6≠2S9,由题设q≠1.从而由S3+S6=2S9
a1(1-q3)
1-q
+
a1(1-q6)
1-q
=2•
a1(1-q9)
1-q
,化简得2q9-q6-q3=0,
因为q≠0,所以2q6-q3-1=0,即(2q3+1)(q3-1)=0.又q≠1,所以q3=-
1
2
q=
3-
1
2

(Ⅱ)由q3=-
1
2
S6
2S3
=
1
2
S6-S3+S3
S3
=
1
2
•(
S6-S3
S3
+1)=
1
2
•(q3+1)
=
1
2
(-
1
2
+1)
=
1
4

S12-S6
S6
=q6=(-
1
2
)2=
1
4
,所以
S6
2S3
=
S12-S6
S6
,从而2S3,S6,S12-S6成等比数列.
点评:本题是中档题,考查数列的基本性质,注意等比数列公比的讨论,等比数列的证明,考查计算能力,常考题型.
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