Question

已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c若

p

=(2cos

B

2

，sin

B

2

)，

q

=(cos

B

2

，-2sin

B

2

)，且

p

•

q

=-1．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2

3

，三角形面积S=

3

，求ac、a+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算，再利用二倍角的余弦函数公式化简求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（Ⅱ）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，将b，ac的值代入求出a+c的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

p

=（2cos

B

2

，sin

B

2

），

q

=（cos

B

2

，-2sin

B

2

），
∴

p

•

q

=2cos²

B

2

-2sin²

B

2

=2cosB，
又

p

•

q

=-1，
∴cosB=-

1

2

，
又B∈（0，π），
∴B=

2π

3

；
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3

，∴ac=4，
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac，
又b=2

3

，ac=4，
∴16=（a+c）²，
则a+c=4．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．