题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率
,且椭圆的短轴长为2.
(1)球椭圆的标准方程;
(2)已知直线过右焦点
,且它们的斜率乘积为
,设
分别与椭圆交于点
和
.
①求的值;
②设的中点
,
的中点为,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)①
;②
.
【解析】
;
(1)由椭圆短轴长为2,得b=1,再由离心率结合计算即可得到椭圆的方程;(2)① 由直线
过右焦点
,设出直线AB方程,将AB方程与椭圆方程联立,写出韦达定理计算弦长AB, 由两直线斜率乘积为
,将弦长AB中的斜率变为
可得弦长CD,相加即得结果;②由中点坐标公式可得点M,N坐标,观察坐标知MN中点T在x轴上,所以
,整理后利用基本不等式即可得面积的最值.
(1) 由题设知:
解得
故椭圆的标准方程为.
(2)①设的直线方程为
,
联立消元
并整理得
,
所以,
,
于是,
同理,
于是.
②由①知,
,
,
,
所以,
,
所以的中点为
,
于是,
当且仅当,即
时取等号,
所以面积的最大值为
.
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