Question

定义在区间（0，+∞）上的函数f （x）满足：（1）f（x）不恒为零；（2）对任意a∈R⁺，b∈R，都有f（a^b）=bf（a）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证方程f（x）=0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）若f（2）＞0，试证f（x）是（0，+∞）上的增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，令a=1，b=2，即可求得f（1）的值；
（Ⅱ）由（1）知，存在x₀∈（0，+∞），使得f （x₀）≠0，任取x₁∈（0，+∞）且x₁≠1，结合题意即可证得方程f（x）=0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意的0＜x₁＜x₂＜+∞，存在实数p₁，p₂，使得x₁=2^p1，x₂=2^p2，且p₁＜p₂，作差判断即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵f （ab）=bf （a），
令a=1，b=2，
∴f （1）=f （1²）=2f （1），
∴f （1）=0．（3分）
（Ⅱ）证明：由（1）知，存在x₀∈（0，+∞），使得f （x₀）≠0，显然x₀≠1．
任取x₁∈（0，+∞）且x₁≠1，则
必存在实数q，使得x₁=x₀^q，q≠0．
由（2）知f （x₁）=f （x₀^q）=qf （x₀）≠0，
故f （x）=0有且只有一个实数根x=1．（8分）
（Ⅲ）证明：对任意的0＜x₁＜x₂＜+∞，
存在实数p₁，p₂，使得x₁=2^p1，x₂=2^p2，且p₁＜p₂，
f （x₁）-f （x₂）=f （2^p1）-f （2^p2）
=p₁f （2）-p₂f （2）
=（p₁-p₂） f （2）＜0，
∴f （x₁）＜f （x₂），
∴函数f （x）在（0，+∞）上单调递增．（14分）

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．