题目内容

定义在区间(0,a)上的函数f(x)=
x2
2x
有反函数,则a最大为(  )
A、
2
ln2
B、
ln2
2
C、
1
2
D、2
分析:函数在一个区间上有反函数时,此函数在此区间上一定是单调函数,故其导数值的符号不变,由2-aln2≥0 求出a的最大值.
解答:解:∵定义在区间(0,a)上的函数f(x)=
x2
2x
有反函数,∴f(x)在此区间上是单调函数.
此函数的导数 
x2x(2-xln2)
(2x)2
 在(0,a)上 符号相同,故 2-aln2≥0,∴a•ln2≤2,
∴a≤
2
ln2
,a最大为
2
ln2

故选 A.
点评:本题考查一个函数在某区间上存在反函数的条件,单调性与导数的关系.
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