Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=-x²+ax．
（1）函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设?（x）=e^2x+ae^x，x∈[0，ln2]，求函数?（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）h（x）在（0，+∞）上是增函数，转化为h′(x)=

1

x

+2x-a≥0对x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，利用基本不等式，即可确定b的取值范围；
（2）设t=e^x，则函数化为y=t²+at，t∈[1，2]，利用配方法，讨论函数在[1，2]上的单调性，即可求得函数?（x）的最小值．

解答：解：（1）依题意：h（x）=lnx+x²-ax
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴h′(x)=

1

x

+2x-a≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤

1

x

+2x，
∵x＞0，则 

1

x

+2x≥2

2

．
∴b的取值范围是(-∞，2

2

]．
（2）设t=e^x，则函数化为y=t²+at，t∈[1，2]
∵y=(t+

a

2

)2-

a2

4

当-

a

2

≤1，即-2≤a≤2

2

时，函数y在[1，2]上为增函数，
∴当t=1时，y_min=a+1；
当1＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜-2时，t=-

a

2

，y_min=-

a2

4

；
当-

a

2

≥2，即a≤-4时，函数y在[1，2]上为减函数，
∴当t=2时，y_min=2a+4．
综上所述：?(x)=

a+1，-2≤a≤2 2 - a2 4 ，-4＜a＜-2； 2a+4，a≤-4．

点评：本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是求导函数，利用分离参数法确定参数的范围．