题目内容
【题目】如图，在四棱柱
中，底面
为等腰梯形，
，
.平面
平面，四边形
为菱形，
.
（1）求证：
；
（2）求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
方法一（几何法）：（1）通过证明
，证得
平面
，由此证得
；（2）作出直线
与平面
所成角，利用两角差的正切公式，求得线面角的正切值，再转化为正弦值.
方法二（向量法）：（1）取
中点
，连接
，证得
底面
，由此以为原点建立空间直角坐标系，通过计算
，证得
.（2）由（1）计算出直线
的方向向量和平面
的法向量，由此计算出与平面所成角的正弦值.
方法一、
（1）连接
、
，取中点
，连接
、
.
∵等腰梯形中，
，
.
∴
，
.
又∵在菱形
中，
，∴
.
又平面
平面，交线为，∴
底面.
∵
，
，
∴四边形
为平行四边形，
.
∴
底面，∴
，
又∵
，相交，∴平面
，
∴
.
（2）取
中点
，连接
，
，
，，相交于点，连接
，显然平面
平面.
∵平面，∴平面
平面，∴平面
平面，交线为，∴
为与平面所成角.
∵
，
，
∴
，∴由
解得
.∴与平面所成角的正弦值为.
方法二、
（1）取中点，连接.
∵四边形为菱形，，∴
.
又平面平面，交线为，∴底面.
以为原点如图建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
.
∴
，
，
∴
，∴.
（2）
，设平面的法向量为
，则
，取
，
.
∴与平面所成角的正弦值为.
口算题卡加应用题集训系列答案【题目】第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下
列联表：
男性 | 女性 | 合计 | |
关注度极高 | 35 | 14 | 49 |
关注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；
（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.
附：
.
参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
