Question

（2010•江西模拟）若x，y∈[-

π

4

，

π

4

]，a∈R，且满足方程：x³+sinx-2a=0，和4y³+sinycosy+a=0则点P（x，y）的轨迹方程是

x+2y=0

．

Answer 1

分析：利用x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，推导出2a=x³+sinx=（-2y）³+sin（-2y），构造函数f（x）=x³+sinx，则f（x）=f（-2y），再由f（x）在[-

π

4

，

π

4

]是增函数，能够推导出点P（x，y）的轨迹方程．

解答：解：∵x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，
∴2a=x³+sinx=（-2y）³+sin（-2y），
构造函数f（x）=x³+sinx，
∴f（x）=f（-2y），
又∵x，y∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴f（x）是增函数，
∴x=-2y，
故点P（x，y）的轨迹方程是：x+2y=0．
故答案为：x+2y=0．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及三角函数的相关知识，解题的关键是构造函数构造函数f（x）=x³+sinx．