Question

(本小题满分12分)

　　设n为正整数，规定：f_n(x)＝，已知f(x)＝ .

(1)解不等式f(x)≤x；

(2)设集合A＝{0,1,2}，对任意x∈A，证明f₃(x)＝x；

(3)求f₂₀₀₇()的值；

(4)(理)若集合B＝，证明B中至少包含8个元素.

Answer 1

{x|≤x≤2}.　

解析:

22.解：(1)①当0≤x≤1时，由2(1－x)≤x 得x≥.∴≤x≤1.

②当1＜x≤2时，因x－1≤x 恒成立.∴1＜x≤2.

由①②得f(x)≤x 的解集为{x|≤x≤2}.　　　　　　　　　　　　　　　　3分

       (2)∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，

∴当x＝0时，f₃(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；

  当 x＝1时，f₃(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；

  当x＝2时，f₃(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.

即对任意x∈A，恒有f₃(x)＝x. 6分 (8分)

   (3)f₁()＝2(1－)＝，f₂()＝f(f())＝f()＝，f₃()＝f(f₂())＝f()＝－1＝，f₄()＝f(f₃())＝f()＝2(1－)＝，

   一般地，f_4k＋r()＝f_r() (k，r∈ N^*) ∴ f₂₀₀₇()＝f₃() ＝ 　　　9分　 (12分)

   (4)(理)由(1)知，f()＝，∴f_n()＝.则f₁₂()＝.∴∈B .

   由(2)知，对x＝0，或1，或2，恒有f₃(x)＝x，∴f₁₂(x)＝f_4×3(x)＝x.则0,1,2∈B.

    由(3)知，对x＝，，，，恒有f₁₂(x)＝f_4×3(x)＝x，∴，，，∈B.

  综上所述，，0,1,2， ，，，∈B. ∴B中至少含有8个元素.　　12分