在区间D上.如果函数f(x)为增函数.而函数1xf(x)为减函数.则称函数f(x)为“弱增函数．已知函数f(x)=1-11+x．在区间(0.1]上是否为“弱增函数 ,(2)设x1.x2∈[0.+∞).且x1≠x2.证明:|f(x2)-f(x1)|＜12|x1-x2|,(3)当x∈[0.1]时.不等式1-ax≤11+x≤1-bx恒成立.求实数a.b的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数

1

x

f(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1-

1

1+x

．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，证明：|f（x₂）-f（x₁）|＜

1

2

|x1-x2|；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

分析：（1）根据弱增函数的定义，只需证明函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，而函数

1

x

f(x)为减函数，即可；
（2）证法1：要证|f（x₂）-f（x₁）|＜

1

2

|x1-x2|，不妨设0≤x₁＜x₂，构造函数g（x）=f（x）-

1

2

x，利用导数证明该函数在（0，+∞）单调递减即可证明结论；
证法2：把f（x）=1-

1

1+x

代入|f（x₂）-f（x₁）|，利用分母有理化，即可证明结论；
（3）要解）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立，利用分离参数转化为当x∈（0，1]时，等价于

a≥

1

x

f(x)

b≤

1

x

f(x)

恒成立，即可求得实数a，b的取值范围．

解答：解：（1）显然f（x）在区间上为增函数（0，1]，
因为

1

x

f(x)=

1

x

(1-

1

1+x

)=

1

x

1+x

-1

1+x

=

1

x

1+x

-1

1+x

=

1

x

•

x

1+x

(

1+x

+1)

=

1

1+x+

1+x

，
所以

1

x

f(x)在区间（0，1]上为减函数．
所以f（x）在区间（0，1]上为“弱增函数”．

（2）证法1：要证|f（x₂）-f（x₁）|＜

1

2

|x1-x2|，不妨设0≤x₁＜x₂，
由f（x）=1-

1

1+x

在[0，+∞）单调递增，
得f（x₂）＞f（x₁），
那么只要证f（x₂）-f（x₁）＜

1

2

(x2-x1)，
即证f（x₂）-

1

2

x2＜f（x₁）-

1

2

x1．
令g（x）=f（x）-

1

2

x，则问题转化为只要证明g（x）=f（x）-

1

2

x在[0，+∞）单调递减即可．
事实上，g（x）=f（x）-

1

2

x=1-

1

1+x

-

1

2

x，
当x∈[0，+∞）时，g′（x）=

1

2

1+x

-

1

2

≤0，
所以g（x）=f（x）-

1

2

x在[0，+∞）单调递减，
故命题成立．
证法2：|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

1+x2

-

1

1+x1

|=

|

1+x1

-

1+x2

|

1+x2

1+x1

=

|x1-x2|

1+x2

1+x1

(

1+x1

+

1+x2

)

，
因为x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，

1+x2

1+x1

(

1+x1

+

1+x2

)＞2，
所以|f（x₂）-f（x₁）|＜

1

2

|x1-x2|．

（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

1

1+x

≤1-bx恒成立．
当x=0时，不等式显然成立．
当x∈（0，1]时，等价于

a≥

1

x

f(x)

b≤

1

x

f(x)

恒成立．
由（1）知

1

x

f(x)为减函数，1-

2

2

≤

1

x

f(x)＜

1

2

，
所以a≥

1

2

且b≤1-

2

2

．

点评：此题是个难题．考查基本初等函数的单调性，以及构造函数证明不等式和恒成立问题，综合性强，方法灵活，很好的考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

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．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，证明|f(x2)-f(x1)|＜

|x2-x1|；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

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为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数

．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，证明

；
（3）当x∈[0，1]时，不等式

恒成立，求实数a，b的取值范围．

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f(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数f(x)=1-

．
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（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，证明|f(x2)-f(x1)|＜

|x2-x1|；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

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．
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（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，证明：|f（x₂）-f（x₁）|＜

；
（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤

≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．