题目内容
在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数
f(x)为减函数,则称函数f(x)为“弱增”函数.已知函数f(x)=1-
.
(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增”函数;
(2)设x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,证明|f(x2)-f(x1)|<
|x2-x1|;
(3)当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤
≤1-bx恒成立,求实数a,b的取值范围.
1 |
x |
1 | ||
|
(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增”函数;
(2)设x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,证明|f(x2)-f(x1)|<
1 |
2 |
(3)当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤
1 | ||
|
(1)显然f(x)在区间(0,1]为增函数,
∵
f(x)=
(1-
)=
=
=
,
∴
f(x)为减函数.∴f(x)在区间(0,1]为“弱增”函数.
(2)|f(x2)-f(x1)|=|
-
|=
=
,
∵x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,
(
+
)>2,
∴|f(x2)-f(x1)|<
|x2-x1|.
(3)∵当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤
≤1-bx恒成立. 当x=0时,不等式显然成立.
当x∈(0,1]时.等价于:
,
由(1)
f(x)为减函数,1-
≤
f(x)<
,∴a≥
,b≤1-
.
∵
1 |
x |
1 |
x |
1 | ||
|
1 |
x |
| ||
|
1 |
x |
x | ||||
|
1 | ||
1+x+
|
∴
1 |
x |
(2)|f(x2)-f(x1)|=|
1 | ||
|
1 | ||
|
|
| ||||
|
|x2-x1| | ||||||||
|
∵x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,
1+x2 |
1+x1 |
1+x2 |
1+x1 |
∴|f(x2)-f(x1)|<
1 |
2 |
(3)∵当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤
1 | ||
|
当x∈(0,1]时.等价于:
|
由(1)
1 |
x |
| ||
2 |
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |

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