题目内容

在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数
1
x
f(x)
为减函数,则称函数f(x)为“弱增”函数.已知函数f(x)=1-
1
1+x

(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增”函数;
(2)设x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,证明|f(x2)-f(x1)|<
1
2
|x2-x1|

(3)当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤
1
1+x
≤1-bx
恒成立,求实数a,b的取值范围.
(1)显然f(x)在区间(0,1]为增函数,
1
x
f(x)=
1
x
(1-
1
1+x
)=
1
x
1+x
-1
1+x
=
1
x
x
1+x
(
1+x
+1)
=
1
1+x+
1+x

1
x
f(x)
为减函数.∴f(x)在区间(0,1]为“弱增”函数.
(2)|f(x2)-f(x1)|=|
1
1+x2
-
1
1+x1
|=
|
1+x1
-
1+x2
|
1+x2
1+x1
=
|x2-x1|
1+x2
1+x1
(
1+x2
+
1+x1
)

∵x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2
1+x2
1+x1
(
1+x2
+
1+x1
)>2

∴|f(x2)-f(x1)|
1
2
|x2-x1|

(3)∵当x∈[0,1]时,不等式1-ax≤
1
1+x
≤1-bx
恒成立. 当x=0时,不等式显然成立.
当x∈(0,1]时.等价于:
a≥
1
x
f(x)
b≤
1
x
f(x)

由(1)
1
x
f(x)
为减函数,1-
2
2
1
x
f(x)<
1
2
,∴a≥
1
2
,b≤1-
2
2
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