题目内容
在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数

(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增”函数;
(2)设x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,证明

(3)当x∈[0,1]时,不等式

【答案】分析:(1)显然f(x)在区间(0,1]为增函数,化简
的解析式为
,显然是减函数,可得f(x)在区间(0,1]为“弱增”函数.
(2)化简|f(x2)-f(x1)|的解析式为
,由,即可证得命题成立.
(3)当x∈(0,1]时,不等式等价于:
,由
为减函数,可得
,从而求得实数a,b的取值范围.
解答:解:(1)显然f(x)在区间(0,1]为增函数,
∵
,
∴
为减函数.∴f(x)在区间(0,1]为“弱增”函数.
(2)
,
∵x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,
,
∴|f(x2)-f(x1)|
.
(3)∵当x∈[0,1]时,不等式
恒成立. 当x=0时,不等式显然成立.
当x∈(0,1]时.等价于:
,
由(1)
为减函数,
,∴
.
点评:本题考查函数的单调性的判断和证明,不等式的证明,体现了分类讨论的数学思想,得到当x∈(0,1]时.等价于:
,是解题的难点.


(2)化简|f(x2)-f(x1)|的解析式为

(3)当x∈(0,1]时,不等式等价于:



解答:解:(1)显然f(x)在区间(0,1]为增函数,
∵

∴

(2)

∵x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,

∴|f(x2)-f(x1)|

(3)∵当x∈[0,1]时,不等式

当x∈(0,1]时.等价于:

由(1)



点评:本题考查函数的单调性的判断和证明,不等式的证明,体现了分类讨论的数学思想,得到当x∈(0,1]时.等价于:


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