题目内容
在区间D上,如果函数f(x)为增函数,而函数

为减函数,则称函数f(x)为“弱增”函数.已知函数

.
(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增”函数;
(2)设x
1,x
2∈[0,+∞),x
1≠x
2,证明

;
(3)当x∈[0,1]时,不等式

恒成立,求实数a,b的取值范围.
【答案】
分析:(1)显然f(x)在区间(0,1]为增函数,化简

的解析式为

,显然是减函数,可得f(x)在区间(0,1]为“弱增”函数.
(2)化简|f(x
2)-f(x
1)|的解析式为

,由,即可证得命题成立.
(3)当x∈(0,1]时,不等式等价于:

,由

为减函数,可得

,从而求得实数a,b的取值范围.
解答:解:(1)显然f(x)在区间(0,1]为增函数,
∵

,
∴

为减函数.∴f(x)在区间(0,1]为“弱增”函数.
(2)

,
∵x
1,x
2∈[0,+∞),x
1≠x
2,

,
∴|f(x
2)-f(x
1)|

.
(3)∵当x∈[0,1]时,不等式

恒成立. 当x=0时,不等式显然成立.
当x∈(0,1]时.等价于:

,
由(1)

为减函数,

,∴

.
点评:本题考查函数的单调性的判断和证明,不等式的证明,体现了分类讨论的数学思想,得到当x∈(0,1]时.等价于:

,是解题的难点.
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