题目内容
（2011•西城区一模）已知数列{an}的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有an+1=
，当a3=5时，a1的最小值为
|
5
5
；当a1=1时，S1+S2+…+S20=910
910
．分析：解：由题设知，当a3=5时，
=5，解得a1=
，或a1=5×2m+k，因为{an}的各项均为正整数，m，k∈正整数，所以k=2时，a1有最小值a1=
=5．
当a1=1时，a2=3×1+5=8，a3=
=1，a4=3×1+5=8，a5=
=1，…，所以{an}是周期为2的周期数列，
它的奇数项是1，偶数项是8，由此能求出S1+S2+…+S20．
| a2 |
| 2k |
| 5×2k-5 |
| 3 |
| 5×4-5 |
| 3 |
当a1=1时，a2=3×1+5=8，a3=
| 8 |
| 23 |
| 8 |
| 23 |
它的奇数项是1，偶数项是8，由此能求出S1+S2+…+S20．
解答：解：∵数列{an}的各项均为正整数，
an+1=
，
当a3=5时，
=5，
∴a2=5×2k=3×a1+5，或a2=5×2k=
，
∴a1=
，或a1=5×2m+k，
∵{an}的各项均为正整数，m，k∈正整数，
∴k=2时，a1有最小值a1=
=5．
当a1=1时，
a2=3×1+5=8，
a3=
=1，
a4=3×1+5=8，
a5=
=1，
…
∴{an}是周期为2的周期数列，
它的奇数项是1，偶数项是8，
∴S1+S2+…+S20=1+（1+8）+（1×2+8）+（1×2+8×2）+（1×3+8×2）+（1×3+8×3）+…+（1×10+8×9）+（1×10+8×10）=910．
故答案为：5，910．
an+1=
|
当a3=5时，
| a2 |
| 2k |
∴a2=5×2k=3×a1+5，或a2=5×2k=
| a1 |
| 2m |
∴a1=
| 5×2k-5 |
| 3 |
∵{an}的各项均为正整数，m，k∈正整数，
∴k=2时，a1有最小值a1=
| 5×4-5 |
| 3 |
当a1=1时，
a2=3×1+5=8，
a3=
| 8 |
| 23 |
a4=3×1+5=8，
a5=
| 8 |
| 23 |
…
∴{an}是周期为2的周期数列，
它的奇数项是1，偶数项是8，
∴S1+S2+…+S20=1+（1+8）+（1×2+8）+（1×2+8×2）+（1×3+8×2）+（1×3+8×3）+…+（1×10+8×9）+（1×10+8×10）=910．
故答案为：5，910．
点评：本题考查数列的递推公式的性质和应用，当a3=5时，求a1的最小值借助递推公式进行计算；当a1=1时，求S1+S2+…+S20．解题时分别求出a1，a2，a3，a4，a5，仔细观察能够发现{an}是周期为2的周期数列，它的奇数项是1，偶数项是8，借助数列的周期性进行求解．
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