题目内容
【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为
,右焦点为F,椭圆与y轴的正半轴交于点B,且|BF|=
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若斜率为1的直线l经过点(1,0),与椭圆E相交于不同的两点M,N,在椭圆E上是否存在点P,使得△PMN的面积为 ,请说明理由.
【答案】
(1)解:由题意, ,得c=1,∴b2=a2﹣c2=1.
则椭圆E的方程为:
(2)解:存在.
设点P(x,y),直线l的方程为y=x﹣1.
由 ,得M(0,﹣1),N(
),
则|MN|= .
则点P到直线l的距离为 .
设过点P与直线l平行的直线l1:y=x+m.
联立 ,得3x2+4mx+2m2﹣2=0.
由△=16m2﹣12(2m2﹣2)=0,解得m= .
当m= 时,l与l1之间的距离为
>1;
当m=﹣ 时,l与l1之间的距离为
<1.
则在椭圆E上存在点P,使得△PMN的面积为
【解析】(1)由题意求得a,c的值,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求;(2)设出P点坐标及直线l的方程,由△PMN的面积为 求得点P到直线l的距离为1,再设出过点P与直线l平行的直线l1:y=x+m.与椭圆方程联立,由判别式等于0求得m值,再结合两平行线间的距离公式求出l与l1之间的距离,与1比较得答案.
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