Question

（2010•武汉模拟）如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC的边长为2a，侧棱AA₁=2a，M、N分别为AA₁、BC中点
（1）求证：MN⊥B₁C₁；
（2）求二面角B₁-MN-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先证明MN在平面ABC上的射影为AN，再证明AN与BC垂直，从而由三垂线定理可证明MN与BC垂直，最后因为BC∥B₁C₁知MN⊥B₁C₁，也可用计算的方法，连接BM、MC，由勾股定理易得BM=CM，从而MN⊥BC，即可证MN⊥B₁C
（2）先作出二面角的平面角，即取MN中点Q，可证明∠B₁QC₁是二面角B₁-MN-C₁的平面角，再在三角形B₁C₁Q中计算∠B₁QC₁的余弦值即可

解答：解：（1）法一：连接AN．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱
∴AA₁⊥平面ABC，且AB=AC
∴AN为MN在面ABC上的射影
又N为BC的中点，且AB=AC
∴AN⊥BC
由三垂线定理知MN⊥BC
又BC∥B₁C₁知MN⊥B₁C₁
法二：连接BM、MC，
由勾股定理易得BM=CM，从而MN⊥BC，即可证MN⊥B₁C₁ 
（2）取MN的中点Q，连接C₁Q、B₁Q
∵B₁M=B₁N，C₁M=C₁Q
∴B₁Q⊥MN，C₁Q⊥MN
∴∠B₁QC₁是二面角B₁-MN-C₁的平面角
又MN=

AM2+AN2

=

a2+(2a)2-a2

=2a
则B₁Q=

B1N2-MQ2

=

5a2-a2

=2a=C1Q
∴△B₁C₁Q为正三角形，
∴∠B₁QC₁=60°
故二面角B₁-MN-C₁的余弦值为

1

2

．

点评：本题考查了证明线线垂直的方法，求二面角大小的方法，解题时要注意积累证明线线垂直的常用思路和找二面角平面角的各种手段，提高解题能力