Question

已知中心在坐标原点、焦点在x轴上椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左，右焦点分别是F₁和F₂，直线l₁过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁于点P，求线段PF₁的垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的方程，利用椭圆的离心率，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）利用线段PF₁的垂直平分线与l₂的交点为M，可得|MF₁|=|MP|，由此可得M的轨迹方程及曲线类型．
解答：解：（1）依题意设所求椭圆方程为
∵椭圆的离心率，
∴，∴2a²=3b²①
又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．
即原点到直线y=x+2的距离为b，所以，代入①中得
所以，所求椭圆方程为．…（6分）
（2）由得F₁、F₂点的坐标分别为（-1，0），（1，0），
设M点的坐标为（x，y），由题意：P点坐标为（1，y），
因为线段PF₁的垂直平分线与l₂的交点为M，
所以|MF₁|=|MP|，∴，∴y²=-4x
故线段PF₁的垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程是y²=-4x，
该轨迹是以F₁为焦点的抛物线．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．