Question

已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F₁、F₂在x轴上，双曲线C的右支上一点A使且△F₁AF₂的面积为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：，解得a=2b．由且△F₁AF₂的面积为1，知（|F₁A|-|F₂A|）²=4c²-4=4a²，由此能求出双曲线C的方程．
（2）△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0，，，由以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D（2，0），知Rt△PAE即，由此入手能够导出直线过定点（，0）．
解答：解：（1）由题意设双曲线的标准方程为，
由已知得：解得a=2b，
∵且△F₁AF₂的面积为1，
∴，，|F₁A|²+|F₂A|²=|F₁F₂|²
∴（|F₁A|-|F₂A|）²=4c²-4=4a²
∴b=1，a=2，
∴双曲线C的保准方程为．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂） 联立y=kx+m与双曲线

x2

4

-y²=1
得（4k²-1）x²+8kmx+4（m²+1）=0
△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0
即4k²-m²-1＜0
则，
又∴
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D（2，0）
∴Rt△PAE即
∴
∴，且均满足．
∵AC₁⊥EG，∴．
当时，直线的方程为，
直线过定点（2，0），与已知矛盾！
当时，
直线的方程为θ，直线过定点（，0）
∴直线l定点，定点坐标为（，0）．
点评：本题考查双曲线的方程的求法和求证直线l过定点，并求出该定点的坐标．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．