Question

已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的最大值为2，周期为π．
（1）确定函数f（x）的解析式，并由此求出函数的单调增区间；
（2）若f(

α

2

)=1，α∈(0，

π

2

)，求cosα，tanα的值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的最大值为A可求出A的值，根据周期可求出ω的值，结合正弦函数的单调性可求出该函数的单调区间；
（2）根据f(

α

2

)=1，α∈(0，

π

2

)可求出α，然后利用特殊角的三角函数值求出所求．

解答：解：（1）由题意可知y_max=A=2，
T=

2π

ω

=π∴ω=2，
∴f（x）=2sin2x，
令2x∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，解得x∈[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，
即f（x）的增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]（k∈Z）；
（2）∵f(

α

2

)=2sinα=1，
∴sinα=

1

2

，
又∵α∈(0，

π

2

)，
∴α=

π

6

，则cosα=cos

π

6

=

3

2

，tanα=tan

π

6

=

3

3

．

点评：本题主要考查了三角形函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，以及三角函数的单调区间和同角三角函数关系的应用，同时考查了特殊角的三角函数，属于基础题．