题目内容
(08年鄞州中学模拟理)(14分) 已知函数。
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若对所有x≥1都有,求实数a的取值范围。
解析:的定义域为(0,+∞), …… 1分
的导数
。 3分
令,解得
;令
,解得
。
从而在
单调递减,在
单调递增。 …… 5分
所以,当时,
取得最小值
。 …… 6分
(Ⅱ)解:
解法一:令,则
, …… 7分
①若a≤1,当x>1时,,
故在(1,+∞)上为增函数,
所以x≥1时,,即
。 …… 10分
②若a>1,方程的根为
,
此时,若x∈(1,x0),则,故
在该区间为减函数。
所以x∈(1,x0)时,,即
,
与题设相矛盾。 …… 13分
综上,满足条件a的取值范围是。 …… 14分
解法二:依题意,得在
上恒成立,
即不等式对于
恒成立。 …… 7分
令,则
。 …… 10分
当x>1时,因为,
故是(1,+∞)上的增函数,所以
的最小值是g(1)=1, …… 13分
从而a的取值范围是。 …… 13分

练习册系列答案
相关题目