题目内容

(08年鄞州中学模拟理)(14分) 已知函数
  (Ⅰ)求的最小值;
  (Ⅱ)若对所有x≥1都有,求实数a的取值范围。

解析的定义域为(0,+∞), …… 1分 的导数。  3分
    令,解得;令,解得
    从而单调递减,在单调递增。 …… 5分
    所以,当时,取得最小值。 …… 6分
  (Ⅱ)解:
  解法一:令,则, …… 7分
   ①若a≤1,当x>1时,
    故在(1,+∞)上为增函数,
    所以x≥1时,,即。 …… 10分
   ②若a>1,方程的根为
    此时,若x∈(1,x0),则,故在该区间为减函数。
    所以x∈(1,x0)时,,即
             与题设相矛盾。 …… 13分
    综上,满足条件a的取值范围是。 …… 14分
  解法二:依题意,得上恒成立,
    即不等式对于恒成立。 …… 7分
    令,则。 …… 10分
    当x>1时,因为
    故是(1,+∞)上的增函数,所以的最小值是g(1)=1, …… 13分
    从而a的取值范围是。 …… 13分

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