Question

设函数f（x）=

1 3 x-1，x≥0 1 x ，x＜0

，
（1）画出此函数的图象；               
（2）若f（x）=-1，求x的值；
（3）若f（x）＜0，求x的取值范围；     
（4）若f(x+1)≥-

1

2

，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据一次函数和反比例函数的图象和性质，分段画出函数的图象，可得到整个函数的图象；
（2）分段构造方程f（x）=-1，解答后，综合分类讨论结合可得f（x）=-1时x的值；
（3）分段构造不等式f（x）＜0，解答后，综合分类讨论结合可得f（x）＜0时x的取值范围；
（4）分段构造不等式f(x+1)≥-

1

2

，解答后，综合分类讨论结合可得f(x+1)≥-

1

2

，时x的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=

1 3 x-1，x≥0 1 x ，x＜0

的图象如下图所示，

（2）当x≥0时，f（x）=

1

3

x-1=-1，解得x=0
当x＜0时，f（x）=

1

x

=-1，解得x=-1
综上所述，f（x）=-1时，x值为0或-1
（3）当x≥0时，f（x）=

1

3

x-1＜0，解得0≤x＜3
当x＜0时，f（x）=

1

x

＜0恒成立
综上所述，f（x）＜0时，x＜3，
即x的取值范围为{x|x＜3}，
（4）当x+1≥0时，f（x+1）=

1

3

（x+1）-1≥-

1

2

，解得x≥

1

2

当x+1＜0时，f（x+1）=

1

x+1

≥-

1

2

，解得x≤-3
综上所述，f（x+1）≥-

1

2

时，实数x的取值范围为{x|x≥

1

2

或x≤-3}，

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数的图象，熟练掌握分段函数的解答方法是关键．