题目内容
已知a，b，c为正实数，a+b+c=1．
求证：（1）a2+b2+c2≥
（2）
+
+
＜6．
求证：（1）a2+b2+c2≥
| 1 |
| 3 |
（2）
| 3a+2 |
| 3b+2 |
| 3c+2 |
分析：（1）证法一，作差与0比较；证法二，利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，再用基本不等式可证；证法三，利用基本不等式；证法四，巧设变量，设a=
+α，b=
+β，c=
+γ，根据a+b+c=1，可得α+β+γ=0，所以a2+b2+c2=（
+α）2+（
+β）2+（
+γ）2=
+α2+β2+γ2，故可证；（2）利用基本不等式即可证明．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：（1）证法一：a2+b2+c2-
=
（3a2+3b2+3c2-1）
=
[3a2+3b2+3c2-（a+b+c）2]
=
[3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc]
=
[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0∴a2+b2+c2≥
证法二：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1∴a2+b2+c2≥
证法三：∵
≥
∴a2+b2+c2≥
∴a2+b2+c2≥
证法四：设a=
+α，b=
+β，c=
+γ．
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a2+b2+c2=（
+α）2+（
+β）2+（
+γ）2
=
+
（α+β+γ）+α2+β2+γ2
=
+α2+β2+γ2≥
∴a2+b2+c2≥
（2）证法一：
同理
∴原不等式成立．
证法二：
≤
=
=
∴
+
+
≤3
＜6
∴原不等式成立．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
证法二：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1∴a2+b2+c2≥
| 1 |
| 3 |
证法三：∵
|
|
∴a2+b2+c2≥
| a+b+c |
| 3 |
∴a2+b2+c2≥
| 1 |
| 3 |
证法四：设a=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a2+b2+c2=（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴a2+b2+c2≥
| 1 |
| 3 |
（2）证法一：
|
同理
|
|
|
∴原不等式成立．
证法二：
| ||||||
| 3 |
|
|
| 3 |
∴
| 3a+2 |
| 3b+2 |
| 3c+2 |
| 3 |
∴原不等式成立．
点评：本题以等式为载体，考查不等式的证明，证题时用了多种方法，注意细细体会．
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