题目内容

已知a,b,c为正整数,方程ax2+bx+c=0的两实根为x1,x2(x1≠x2),且|x1|<1,|x2|<1,则a+b+c的最小值为   
【答案】分析:依题意从而可得x1,x2∈(-1,0),则有结合a,b,c为正整数可求a+b+c得最小值
解答:解:依题意,可知从而可知x1,x2∈(-1,0),
所以有又a,b,c为正整数,取c=1,则a+1>b⇒a≥b,
所以a2≥b2>4ac=4a⇒a>4.从而a≥5,所以b2>4ac≥20.
又b<5+1=6,所以b=5,因此a+b+c有最小值为11.
下面可证c≥2时,a≥3,从而b2>4ac≥24,所以b≥5.
又a+c>b≥5,所以a+c≥6,所以a+b+c≥11.
综上可得,a+b+c的最小值为11.
故答案为:11
点评:本题主要考查了一元二次方程的根的分布问题的求解,主要应用了方程的根与系数的关系及,还考查了一定的运算推理的能力.
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