题目内容

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=,AA1,AD⊥DC,AC⊥BD,垂足为E.

(Ⅰ)求证BD⊥A1C.

(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的大小.

(Ⅲ)求异面直线AD与BC1所成角的大小.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,

  ∵A1A⊥底面ABCD,

  ∴AC是A1C在平面ABCD上的射影,

  ∵BD⊥AC,∴BD⊥A1C.

  (Ⅱ)连结A1E、C1E、A1C1

  与(Ⅰ)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,∴∠A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面角.

  ∵AD⊥DC,∴∠A1D1C1=∠ADC=90°,

  又A1D1=AD=2,D1C1=DC=,AA1,且AC⊥BD,

  ∴A1C1=4,AE=1,EC=3,∴A1E=2,C1E=

  在△A1EC1中,A1C12=A1E2+C1E2,∴∠A1EC1=90°,即二面角A1-BD-C1的大小为90°.

  (Ⅲ)过B作BF∥AD交AC于F,连结FC1,则∠C1BF就是AD与BC1所成的角.

  ∵AB=AD=2,BD⊥AC,AE=1,∴BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,

  ∴FC1,BC1.在△BFC1中,cosC1BF=

  ∴∠C1BF=arccos.即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos


提示:

  (Ⅰ)应用线面垂直的性质定理.

  (Ⅱ)容易证明∠A1EC1是所求二面角.

  (Ⅲ)平移法求异面直线所成角.


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