Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

Answer 1

分析：方法一：（1）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面OCD，方法是两个平面内相交直线互相平行得到，从而的到MN∥平面OCD；
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP菱形的对角相等得到∠ABC=∠ADC=

π

4

，
利用菱形边长等于1得到DP=

2

2

，而MD利用勾股定理求得等于

2

，在直角三角形中，利用三角函数定义求出即可．

（3）AB∥平面OCD，∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD，
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，求出距离可得．

方法二：（1）分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，分别表示出A，B，O，M，N的坐标，
求出

MN

，

OP

，

OD

的坐标表示．设平面OCD的法向量为

n

=（x，y，z），则n•

OP

=0，n•

OD

=0，
解得

MN

•n=(1-

2

4

，

2

4

，-1)•(0，4，

2

)=0，∴MN∥平面OCD
（2）设AB与MD所成的角为θ，表示出

AB

和

MD

，利用a•b=|a||b|cosα求出叫即可．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为

OB

在向量n=(0，4，

2

)上的投影的绝对值，由

OB

=(1，0，-2)，
得d=

| OB •n|

|n|

=

2

3

．所以点B到平面OCD的距离为

2

3

．

解答：解：方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

，MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴cos∠MDP=

DP

MD

=

1

2

，∠MDC=∠MDP=

π

3

所以AB与MD所成角的大小为

π

3

．

（3）∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵OP=

OD2-DP2

=

OA2+AD2-DP2

=

4+1- 1 2

=

3 2

2

，AP=DP=

2

2

，
∴AQ=

OA•AP

OP

=

2• 2 2

3 2 2

=

2

3

，所以点B到平面OCD的距离为

2

3

．

方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：
A（0，0，0），B（1，0，0），P(0，

2

2

，0)，D(-

2

2

，

2

2

，0)，
O（0，0，2），M（0，0，1），N(1-

2

4

，

2

4

，0)
（1）

MN

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)，

OP

=(0，

2

2

，-2)，

OD

=(-

2

2

，

2

2

，-2)
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则

n

•

OP

=0，

n

•

OD

=0
即

2 2 y-2z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-2z=0

取z=

2

，解得
∵

MN

•

n

=（1-

2

4

，

2

4

，-1）•（0，4，

2

）=0，
∴MN∥平面OCD．

（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵

AB

=(1，0，0)，

MD

=(-

2

2

，

2

2

，-1)
∴cosθ=

| AB • MD |

| AB |•| MD |

=

1

2

，
∴θ=

π

3

，AB与MD所成角的大小为

π

3

．

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为

OB

在向量

n

=（0，4，

2

）上的投影的绝对值，
由

OB

=(1，0，-2)，得d=

| OB n |

n

=

2

3

所以点B到平面OCD的距离为

2

3

．

点评：培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．