Question

已知A、B、C同时满足sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0，求证：cos²A+cos²B+cos²C为定值．

Answer 1

分析：考查已知方程组sinα±sinβ=a，cosα±cosβ=b，求值的常用方法即：平方后相加减．

解答：证明：先两式变形sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，再平方，
（sinα+sinβ）²=sin²γ，
①（cosα+cosβ）²=cos²γ，②
①+②化简得cos（α-β）=-

1

2

，③
②-①化简得，cos2γ=cos2α+cos2β+2cos（α+β），④
所以cos²α+cos²β+cos²γ
=

1+cos2α

2

+

1+cos2β

2

+

1+cos2γ

2

=

3

2

+

cos2α+cos2β+cos2γ

2

，将④代入
=

3

2

+cos2α+cos2β+cos（α+β）
=

3

2

+cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]+cos（α+β）
=

3

2

+2cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β），将③代入
=

3

2

故cos²A+cos²B+cos²C为定值，值为

3

2

．

点评：本题需熟悉和差角公式，即角2α，2β，α+β，α-β的互化．