Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C：与直线l：交于M，N两点．

当时，求的面积的取值范围；

轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？若存在，求以线段OP为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，用点到直线的距离公式求得到直线的距离，由此可求得三角形面积的表达式.再利用的取值范围求得面积的取值范围.（2）设出点的坐标，写出直线的斜率，然后相加，利用（1）的韦达定理条件化简，并令斜率和为零，由此求得点的坐标，进而求得以为直径的圆的方程.

（1）将代入，得，

设，，则，，

从而.

因为到的距离为，

所以的面积.

因为，所以.

（2）存在符合题意的点，证明如下：

设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，.

从而

.

当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，

故，所以点符合题意.

故以线段为直径的圆的方程为.