题目内容

已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数,e=2.71828…)是R上的奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)讨论关于x的方程
lnxf(x)
=x2-2ex+m
的根的个.
分析:(Ⅰ)由奇函数的性质可得f(-x)=-f(x),令x=0代入可得a值;
(Ⅱ)代入可得
lnx
f(x)
=
lnx
x
=x2-2ex+m
,令f1(x)=
lnx
x
f2(x)=x2-2ex+m
,求导数可得函数f1(x)的单调性,进而得最大值,配方可得f2(x)=(x-e)2+m-e2,结合函数图象可知得结论.
解答:解:(Ⅰ)由f(x)=ln(ex+a)是R的奇函数,则f(-x)=-f(x),
不妨去x=0,可得f(0)=ln(e0+a)=0,解得a=0.…..…..(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=lnex=x,故
lnx
f(x)
=
lnx
x
=x2-2ex+m

f1(x)=
lnx
x
f2(x)=x2-2ex+m
,则
f
1
(x)=
1-lnx
x2

当x∈(0,e)时,
f
1
(x)≥0
,∴f1(x)在(0,e]上为增函数;
当x∈[e,+∞)时,
f
1
(x)≤0
,∴f1(x)在[e,+∞)上为减函数;
当x=e时,[f1(x)]max=f1(e)=
1
e
,….…..(8分)
f2(x)=(x-e)2+m-e2,结合函数图象可知:
m-e2
1
e
,即m>
1
e
+e2
时,方程无解;
m-e2=
1
e
,即m=
1
e
+e2
时,方程有一个根x=e;
m-e2
1
e
,即m<
1
e
+e2
时,方程有两个根.…..…..….(12分)
点评:本题考查函数的奇偶性和根的存在性及个数的判断,属中档题.
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