Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数，e=2.71828…）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）讨论关于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m的根的个．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函数的性质可得f（-x）=-f（x），令x=0代入可得a值；
（Ⅱ）代入可得

lnx

f(x)

=

lnx

x

=x2-2ex+m，令f1(x)=

lnx

x

，f2(x)=x2-2ex+m，求导数可得函数f₁（x）的单调性，进而得最大值，配方可得f2(x)=(x-e)2+m-e2，结合函数图象可知得结论．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R的奇函数，则f（-x）=-f（x），
不妨去x=0，可得f（0）=ln（e⁰+a）=0，解得a=0．…..…..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=lne^x=x，故

lnx

f(x)

=

lnx

x

=x2-2ex+m，
令f1(x)=

lnx

x

，f2(x)=x2-2ex+m，则

f

′ 1

(x)=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，

f

′ 1

(x)≥0，∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时，

f

′ 1

(x)≤0，∴f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
当x=e时，[f1(x)]max=f1(e)=

1

e

，…．…..（8分）
而f2(x)=(x-e)2+m-e2，结合函数图象可知：
当m-e2＞

1

e

，即m＞

1

e

+e2时，方程无解；
当m-e2=

1

e

，即m=

1

e

+e2时，方程有一个根x=e；
当m-e2＜

1

e

，即m＜

1

e

+e2时，方程有两个根．…..…..…．（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性和根的存在性及个数的判断，属中档题．