Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，若函数y=f（x）-m有三个不同的零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x），当a＞2时在函数定义域内解不等式f′（x）＞0即可．
（2）数形结合：当a=4时，用导数求出函数y=f（x）的极大值与极小值，画出草图，借助图象即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=x²-（a+2）x+alnx可知，函数的定义域为{x|x＞0}，
且f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x-a)(x-1)

x

因为a＞2，所以

a

2

＞1．
当0＜x＜1或x＞

a

2

时，f'（x）＞0；当1＜x＜

a

2

时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为(0，1)，(

a

2

，+∞)．
（2）当a=4时，f′(x)=

2(x-1)(x-2)

x

．
所以，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	f（x）取极大值	单调递减	f（x）取极小值	单调递增

所以f(x)极大值=f(1)=12-6×1+4ln1=-5，f(x)极小值=f(2)=22-6×2+4ln2=4ln2-8．

函数f（x）的图象大致如下：
所以若函数y=f（x）-m有三个不同的零点，
则m∈（4ln2-8，-5）．

点评：本题考查了导数的综合应用，用导数求函数单调区间、求函数极值以及作图能力，数形结合思想在解决本题中提供了有力保障．